Задачи для самостоятельного решения.

1. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.

2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков.

Относительная частота

Относительной частотой  события называют  отношение числа
испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически
произведенных испытаний.

Таким образом, относительная частота события  A определяется формулой

                                                 W(A) = m/n,

где m – число появлений события,
       n – общее число испытаний.

Примеры непосредственного вычисления вероятностей

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и

набрал её наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Р е ш е н и е. Обозначим через A событие – набрана нужная

цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число

возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны,

равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию A лишь

один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна

отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех

элементарных исходов:

                                      P(A) = 1/10.

Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количества комбинаций,  подчиненных
определенным условиям, которые можно составить из элементов,
безразлично какой природы, заданного конечного множества.

При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы
комбинаторики.

Виды случайных событий

События называют несовместными, если появление одного из
них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример 1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь.
Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали.
События «появилась стандартная деталь» и  «появилась нестандартная
деталь» – несовместные.

Предмет теории вероятностей

Все наблюдаемые нами события (явления) делятся на три вида: достоверные, невозможные и случайные.
   
Достоверное – событие, которое обязательно   произойдет.
 
Невозможное – событие, которое заведомо не произойдет.
 
Случайное – событие, которое при соблюдении некоторых условий может либо произойти, либо не произойти.

Средние величины

Средней величиной называется обобщающий статистический показатель,
характеризующий типичный уровень явления.
 
Виды средних величин:
• средняя арифметическая;
• средняя гармоническая;
• средняя геометрическая;
• средняя квадратическая;
• структурные средние (мода и медиана).

Ряды динамики

Динамика – изменение явления во времени.
Ряд динамики – ряд расположенных в хронологическом порядке числовых
значений статистического показателя.
 
Ряд динамики имеет два основных элемента: период времени (t) и
значение показателя (y), или уровень ряда.

Абсолютные и относительные величины

Абсолютные величины – это количественные сведения о каком-либо явлении. Их получают в результате статистического наблюдения, простой сводки или расчетным путем.
 
Различают следующие виды абсолютных величин:
• индивидуальные, характеризующие размер количественного признака у отдельных единиц совокупности (результат статистического наблюдения);
• суммарные, характеризующие суммарный размер количественного показателя совокупности (результат простой сводки);
• расчетные, характеризующие величину показателя совокупности (результат расчета).

Абсолютные величины всегда именованы, т.е. имеют единицу измерения. Различают натуральные (тонны, штуки, метры), стоимостные (рубли) и трудовые (человеко-дни, человеко-часы) абсолютные величины.

Наглядное представление статистических данных

Статистический материал может быть представлен в виде таблиц и графиков 

(картограмм и диаграмм).

Наиболее часто используются линейная, столбиковая и круговая (секторная) 

диаграммы.

 

Линейная диаграмма – график, на котором отдельные значения результатов 

наблюдения соединены непрерывной ломаной линией.

Линейную диаграмму целесообразно использовать для отображения динамики 

(изменения) какого-либо явления.

 

Сводка и группировка статистических данных

Статистическая сводка – это научно организованная обработка материалов наблюдения, включающая в себя систематизацию, группировку данных, составление таблиц,  подсчет итогов.

 
Сводка, в которой только подсчитываются итоги, является простой.
Сводка, предполагающая группировку данных, является групповой.
 
Статистическая группировка – это объединение отдельных однородных по какому-либо признаку единиц совокупности в группы.

Статистическое наблюдение

Статистическое наблюдение - научно организованная работа по сбору статистической информации о каких-либо явлениях и процессах с обязательной регистрацией фактов в специальных учетных документах.

   

Статистическая информация -  первичный статистический материал, который в дальнейшем подвергнется обработке и анализу.

   

Требования к статистическому наблюдению:

   1. Массовый характер – охват большого числа случаев проявления исследуемого процесса.

   2. Систематичность – проведение исследования через определенные промежутки времени.

   3. Планомерность – наличие специально разработанного плана исследования.

Предмет и метод статистики

Статистика – система научных дисциплин, в которую входят: теория статистики, экономическая статистика, социальная статистика, математическая статистика.

Предмет статистики – количественная сторона изучаемых явлений в конкретных условиях места и времени.

Задача статистики – используя систему показателей, дать обобщающую характеристику изучаемого явления.

Для изучения явлений статистика пользуется специальными методами, которые соответствуют трем стадиям процесса статистического исследования:

Задачи для самостоятельного решения

1. Число уменьшилось в 2.5 раза. На сколько процентов уменьшилось это число?

2. Число d на 15 % меньше числа с. Какую часть составляет число d от числа с?

3. В течение месяца цена товара увеличилась на 25 %, а в течение следующего
месяца цена товара возвратилась к первоначальному уровню. На сколько процентов изменилась новая цена товара?

Определение параметров финансовой ренты

Иногда при разработке контрактов возникает необходимость определить по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости А остальные параметры
ренты: R, n, i, р, m.

Такие параметры, кaк m и р, обычно задаются по согласию
двух подписывающих сторон. Остаются параметры R, n, i.

Два из них задаются, а третий рассчитывается. Такие расчеты могут быть
неоднократно повторены при различных значениях задаваемых параметров,
пока не будет достигнуто согласие сторон.

Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты

Пусть А — современная величина годовой ренты постнумерандо,
а S — ее наращенная стоимость к концу срока n, р = 1, m = 1.

Покажем, что наращение процентов на сумму А за n лет дает сумму,
равную S

Формулы современной величины ренты

Обычная годовая рента. Пусть размер годового платежа равен R, процентная ставка i, проценты начисляются 1 раз в конце года, срок ренты n.
Тогда дисконтированная величина первого платежа равна
                                R / (1 + i )= Rv.
Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rν² и т.д.
В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию:
Rν , Rν², Rν³,..., Rνⁿ, сумма которой
            A = Rν (νⁿ –1) / (ν –1) = R[1– (1+ i)^-n –1] / i = Ra_ni
где   a_ni = [1– (1+ i)^-n –1] / i                                                          (5.8)
– коэффициент приведения ренты.

Формулы наращенной суммы ренты

Обычная годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение n лет на
расчетный счет вносится по R руб., сложные проценты начисляются 1 раз в
год по ставке i.

В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины
R (1 + i)^n-1, так как на сумму R проценты начислялись в течение n –1 года.

Второй взнос увеличится до
R (1 + i)^n-2 и т.д.

На последний взнос проценты не начисляются.

Финансовые ренты и их классификация

Поток платежей, все члены которого положительные, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой, или аннуитетом.
   
Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты — величина каждого отдельного платежа, период ренты — временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты — время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода; процентная ставка — ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Потоки платежей

Очень часто в контрактах финансового характера предусматривают не 

отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. 

Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного 

кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы 

на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного 

назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, 

накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, 

выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. 

Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. 

Непрерывные проценты

Наращение и дисконтирование. Наращенная сумма в случае непрерывного начисления процентов по ставке j:
                                          S = Pe ^jn                           (4.1)    
Для того чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом δ. С учетом введенного обозначения равенство (4.1) принимает вид
                                          S = Pe ^δn                                           (4.2)  
Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при  m→∞.

Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов

Математический учет. В этом случае решается задача, обратная наращению
по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения сложных
процентов  S = P (1 + i)ⁿ и решим ее относительно P :
                               P = S [1/(1 + i)ⁿ] = Svⁿ                  (3.7)
где
                             vⁿ =1/(1 + i)ⁿ = (1 + i)^-n                  (3.8)
– учетный или дисконтный множитель.                      

Номинальная и эффективная ставки процентов

Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. При каждом начислении проценты капитализируются, т.е. добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют по ставке j/т. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке проводится по формуле
                             S = P (1 + j/m)^N,                                 (3.3)
где
N — число периодов начисления (N= тп, может быть и дробным числом).

Формула наращения по сложным процентам при изменении ставки во времени

В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения принимает следующий вид:
                      S = P (1+ i₁)ⁿ¹(1+ i₂)ⁿ²… (1+ i_k)^nk                   (3.2)
где
i₁, i₂, ..., i_k — последовательные значения ставок процентов, действующих в соответствующие периоды n₁, n₂, …, n_k

Сложные проценты

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

Формула наращения по сложным процентам.
                       S = P (1 + i)ⁿ,                                         (3.1)
где
   S — наращенная сумма;
   i — годовая ставка сложных про¬центов;
   n — срок ссуды;
   (1 + i)ⁿ— множитель наращения.

Дисконтирование и учет по простым ставкам

В практике часто приходится решать задачу, обратную наращению
процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу
финансовой операции, требуется найти исходную сумму Р. Расчет Р по S
называется дисконтированием суммы S.

Величину Р, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) cуммы S. Проценты в виде разности  D = S – Р  называются дисконтом, или скидкой. Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом.

Таким образом, в практике используются два принципа расчета
процентов: путем наращения суммы ссуды и вычислением скидки с конечной
суммы долга.

Величина Р эквивалентна сумме S в том смысле, что через определенный
период времени и при заданной ставке процентов она в результате
наращения станет равной S. Поэтому операцию дисконтирования называют
также приведением. Но понятие приведения шире, чем дисконтирование.

Простые переменные ставки

Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:
               S = P (1 +  n₁i₁ + n₂ i₂+ …) ,                  (2.5)
                                                                   
где
   Р – первоначальная сумма (ссуда);
   i_t – ставка простых процентов в периоде с номером t;
   n_t– продолжительность периода с номером t, т.е. периода   начисления по ставке i_t.

Практика начисления простых процентов

Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год, поэтому при продолжительности ссуды менее года необходимо выяснить, какая часть процента уплачивается кредитору. Для этого величину n выражают в виде дроби
                                 n = t /K,                                            (2.4)
где
   n – срок ссуды (измеренный в долях года);
   К– число дней в году (временная база);
   t – срок операции (ссуды) в днях.

Формула наращения по простым процентам

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов инвестированных средств) понимается первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.
                                        S = Р (1 + ni),                          (2.1)
где                                                      
   S – наращенная сумма;
   Р – первоначальная сумма денег;
   i  – ставка простых процентов;
   n – период начисления.
Множитель (1 + ni) называется множителем наращения.
 

Простые проценты. Процентные ставки

В финансовых расчетах под процентами (процентными деньгами) понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг любой форме (продажа в кредит, предоставление денежной ссуды, помещение денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигаций и т.д.).
 
При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки — отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды. Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления. Ставка измеряется в процентах, в виде десятичной или обыкновенной дроби. В последнем случае она фиксируется в контрактах с точностью до 1/16 или даже 1/32.

Простейшие сведения о процентах

Одну сотую долю числа a называют одним процентом числа a; k сотых долей числа a называют k процентами числа a; число a называют базой для нахождения процентов.
                      k % числа a = (k /100)a                          (1.1)                            

Задача 1.1. Даны два числа a и b. Сколько процентов составляет число b от числа a?
Р е ш е н и е. Заметим, что базой для нахождения процентов является число a, и предположим, что число b составляет x % числа a. По формуле (1.1)
b = (x /100)a,
откуда вытекает
                                     x = 100b/a                               (1.2)                                
О т в е т. Число b составляет (100b/a)%  числа a.