Задачи для самостоятельного решения

1. Число уменьшилось в 2.5 раза. На сколько процентов уменьшилось это число?

2. Число d на 15 % меньше числа с. Какую часть составляет число d от числа с?

3. В течение месяца цена товара увеличилась на 25 %, а в течение следующего
месяца цена товара возвратилась к первоначальному уровню. На сколько процентов изменилась новая цена товара?

Определение параметров финансовой ренты

Иногда при разработке контрактов возникает необходимость определить по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости А остальные параметры
ренты: R, n, i, р, m.

Такие параметры, кaк m и р, обычно задаются по согласию
двух подписывающих сторон. Остаются параметры R, n, i.

Два из них задаются, а третий рассчитывается. Такие расчеты могут быть
неоднократно повторены при различных значениях задаваемых параметров,
пока не будет достигнуто согласие сторон.

Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты

Пусть А — современная величина годовой ренты постнумерандо,
а S — ее наращенная стоимость к концу срока n, р = 1, m = 1.

Покажем, что наращение процентов на сумму А за n лет дает сумму,
равную S

Формулы современной величины ренты

Обычная годовая рента. Пусть размер годового платежа равен R, процентная ставка i, проценты начисляются 1 раз в конце года, срок ренты n.
Тогда дисконтированная величина первого платежа равна
                                R / (1 + i )= Rv.
Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rν² и т.д.
В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию:
Rν , Rν², Rν³,..., Rνⁿ, сумма которой
            A = Rν (νⁿ –1) / (ν –1) = R[1– (1+ i)^-n –1] / i = Ra_ni
где   a_ni = [1– (1+ i)^-n –1] / i                                                          (5.8)
– коэффициент приведения ренты.

Формулы наращенной суммы ренты

Обычная годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение n лет на
расчетный счет вносится по R руб., сложные проценты начисляются 1 раз в
год по ставке i.

В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины
R (1 + i)^n-1, так как на сумму R проценты начислялись в течение n –1 года.

Второй взнос увеличится до
R (1 + i)^n-2 и т.д.

На последний взнос проценты не начисляются.

Финансовые ренты и их классификация

Поток платежей, все члены которого положительные, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой, или аннуитетом.
   
Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты — величина каждого отдельного платежа, период ренты — временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты — время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода; процентная ставка — ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Потоки платежей

Очень часто в контрактах финансового характера предусматривают не 

отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. 

Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного 

кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы 

на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного 

назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, 

накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, 

выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. 

Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. 

Непрерывные проценты

Наращение и дисконтирование. Наращенная сумма в случае непрерывного начисления процентов по ставке j:
                                          S = Pe ^jn                           (4.1)    
Для того чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом δ. С учетом введенного обозначения равенство (4.1) принимает вид
                                          S = Pe ^δn                                           (4.2)  
Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при  m→∞.

Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов

Математический учет. В этом случае решается задача, обратная наращению
по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения сложных
процентов  S = P (1 + i)ⁿ и решим ее относительно P :
                               P = S [1/(1 + i)ⁿ] = Svⁿ                  (3.7)
где
                             vⁿ =1/(1 + i)ⁿ = (1 + i)^-n                  (3.8)
– учетный или дисконтный множитель.                      

Номинальная и эффективная ставки процентов

Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. При каждом начислении проценты капитализируются, т.е. добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют по ставке j/т. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке проводится по формуле
                             S = P (1 + j/m)^N,                                 (3.3)
где
N — число периодов начисления (N= тп, может быть и дробным числом).

Формула наращения по сложным процентам при изменении ставки во времени

В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения принимает следующий вид:
                      S = P (1+ i₁)ⁿ¹(1+ i₂)ⁿ²… (1+ i_k)^nk                   (3.2)
где
i₁, i₂, ..., i_k — последовательные значения ставок процентов, действующих в соответствующие периоды n₁, n₂, …, n_k

Сложные проценты

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

Формула наращения по сложным процентам.
                       S = P (1 + i)ⁿ,                                         (3.1)
где
   S — наращенная сумма;
   i — годовая ставка сложных про¬центов;
   n — срок ссуды;
   (1 + i)ⁿ— множитель наращения.

Дисконтирование и учет по простым ставкам

В практике часто приходится решать задачу, обратную наращению
процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу
финансовой операции, требуется найти исходную сумму Р. Расчет Р по S
называется дисконтированием суммы S.

Величину Р, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) cуммы S. Проценты в виде разности  D = S – Р  называются дисконтом, или скидкой. Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом.

Таким образом, в практике используются два принципа расчета
процентов: путем наращения суммы ссуды и вычислением скидки с конечной
суммы долга.

Величина Р эквивалентна сумме S в том смысле, что через определенный
период времени и при заданной ставке процентов она в результате
наращения станет равной S. Поэтому операцию дисконтирования называют
также приведением. Но понятие приведения шире, чем дисконтирование.

Простые переменные ставки

Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:
               S = P (1 +  n₁i₁ + n₂ i₂+ …) ,                  (2.5)
                                                                   
где
   Р – первоначальная сумма (ссуда);
   i_t – ставка простых процентов в периоде с номером t;
   n_t– продолжительность периода с номером t, т.е. периода   начисления по ставке i_t.

Практика начисления простых процентов

Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год, поэтому при продолжительности ссуды менее года необходимо выяснить, какая часть процента уплачивается кредитору. Для этого величину n выражают в виде дроби
                                 n = t /K,                                            (2.4)
где
   n – срок ссуды (измеренный в долях года);
   К– число дней в году (временная база);
   t – срок операции (ссуды) в днях.

Формула наращения по простым процентам

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов инвестированных средств) понимается первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.
                                        S = Р (1 + ni),                          (2.1)
где                                                      
   S – наращенная сумма;
   Р – первоначальная сумма денег;
   i  – ставка простых процентов;
   n – период начисления.
Множитель (1 + ni) называется множителем наращения.
 

Простые проценты. Процентные ставки

В финансовых расчетах под процентами (процентными деньгами) понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг любой форме (продажа в кредит, предоставление денежной ссуды, помещение денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигаций и т.д.).
 
При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки — отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды. Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления. Ставка измеряется в процентах, в виде десятичной или обыкновенной дроби. В последнем случае она фиксируется в контрактах с точностью до 1/16 или даже 1/32.

Простейшие сведения о процентах

Одну сотую долю числа a называют одним процентом числа a; k сотых долей числа a называют k процентами числа a; число a называют базой для нахождения процентов.
                      k % числа a = (k /100)a                          (1.1)                            

Задача 1.1. Даны два числа a и b. Сколько процентов составляет число b от числа a?
Р е ш е н и е. Заметим, что базой для нахождения процентов является число a, и предположим, что число b составляет x % числа a. По формуле (1.1)
b = (x /100)a,
откуда вытекает
                                     x = 100b/a                               (1.2)                                
О т в е т. Число b составляет (100b/a)%  числа a.