Обычная годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение n лет на
расчетный счет вносится по R руб., сложные проценты начисляются 1 раз в
год по ставке i.
В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины
R (1 + i)n-1, так как на сумму R проценты начислялись в течение n –1 года.
Второй взнос увеличится до
R (1 + i)n-2 и т.д.
На последний взнос проценты не начисляются.
Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме
членов геометрической прогрессии
S = R + R (1 + i) + R (1 + i)2 + … + R (1 + i)n-1,
в которой первый член равен R, знаменатель (1 + i), число членов n.
Как известно из школьного курса алгебры, эта сумма равна
S = R[(1 + i)n–1] / [(1 + i) –1] = R[(1 + i)n–1] / i = Rsni (5.1)
где
sni = [(1 + i)n–1] / i — коэффициент наращения ренты.
Он зависит только от срока ренты n и уровня процентной ставки i.
Поэтому его значения могут быть представлены в таблице с двумя входами.
Задача 5.1. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого года
поступает по 10 млн руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты
по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном
счете к концу указанного срока.
Р е ш е н и е. По формуле (5.1) находим
S = 10[(1 + 0.1)3–1] / 0.1= 33.1 млн руб
Годовая рента с начислением процентов m раз в году. Если платежи
делаются 1 раз в конце года, а проценты начисляются m раз в году,
значит, применяется каждый раз ставка j/m,
где
j — номинальная ставка процентов.
Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид
R (1 + j/m)m(n-1), R (1 + j/m)m(n-2), ..., R
Если рассмотрим эту последовательность справа налево, то увидим, что
перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой
является R, знаменателем (1 + j/m)m, а число членов равно n.
Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты:
S = R [(1 + j/m)mn–1] / [(1 + j/m)m –1] (5.2)
Задача 5.2. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого года
поступает по 10 млн руб., на которые ежеквартально (m = 4) начисляются
проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на
расчетном счете к концу указанного срока.
Р е ш е н и е . По формуле (5.2) находим
S = 10[(1+ 0,1/4)3*4 – 1] / [(1+ 0,1/4)4 – 1] = 33,222 млн руб.
Рента р-срочная, m = 1. Если рента выплачивается р раз в году равными
платежами, а проценты начисляются 1 раз в конце года, то размер
отдельного платежа равен R/р ( R— годовая сумма платежей).
Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна
S = R /p [(1 + i)(1/p)np–1] / [(1 + i)(1/p) –1] =
= R [(1 + i)n–1] / p [(1 + i)(1/p) –1] = Rsni(p), (5.3)
где sni(p) = [(1 + i)n–1] / p [(1 + i)(1/p) –1] (5.4)
– коэффициент наращения р-срочной ренты при m = 1
Задача 5.3. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого
квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год
(т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые в конце года начисляются
проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на
расчетном счете к концу указанного срока.
Р е ш е н и е. По формуле (5.4) находим
S = (10/4) [(1 + 0.1)3 – 1] / [(1 + 0.1)1/4–1]= 34,317 млн руб.
Рента р-срочная, р = m. В контрактах часто начисление процентов и
поступление платежа совпадают по времени. Таким образом, число
платежей р в году и число начислений процентов m совпадают, т.е. р = m.
Тогда для получения наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с
годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для
которой
S = R[(1 + i)n–1] / i
Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют
ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом, получаем
S = R/m [(1 + j/m)mn –1] / j/m = R [(1 + j/m)mn –1] / j (5.5)
Задача 5.4. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого
квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год
(т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежеквартально начисляются
проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется
определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Р е ш е н и е. По формуле (5.5) находим
S = 10 [(1 + 0.1/4)3*4– 1] / 0.1 = 34,489 млн руб:
Рента р-срочная, р ≥ 1, m ≥ 1. Это самый общий случай, p-срочной
ренты с начислением процентов m раз в году, причем возможно р ≠ m.
Наращенная сумма
S = R [(1 + j/m)mn –1] / p [(1 + j/m)m/p –1] (5.6)
Следует отметить, что из нее легко получить все рассмотренные выше
частные случаи, задавая лишь соответствующие значения p и m.
Задача 5.5. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого
квартала поступают платежи (р = 4) равными долями из расчета 10 млн
руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежемесячно (m = 12)
начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется
определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Р е ш е н и е. По формуле (5.6) находим
расчетный счет вносится по R руб., сложные проценты начисляются 1 раз в
год по ставке i.
В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины
R (1 + i)n-1, так как на сумму R проценты начислялись в течение n –1 года.
Второй взнос увеличится до
R (1 + i)n-2 и т.д.
На последний взнос проценты не начисляются.
Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме
членов геометрической прогрессии
S = R + R (1 + i) + R (1 + i)2 + … + R (1 + i)n-1,
в которой первый член равен R, знаменатель (1 + i), число членов n.
Как известно из школьного курса алгебры, эта сумма равна
S = R[(1 + i)n–1] / [(1 + i) –1] = R[(1 + i)n–1] / i = Rsni (5.1)
где
sni = [(1 + i)n–1] / i — коэффициент наращения ренты.
Он зависит только от срока ренты n и уровня процентной ставки i.
Поэтому его значения могут быть представлены в таблице с двумя входами.
Задача 5.1. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого года
поступает по 10 млн руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты
по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном
счете к концу указанного срока.
Р е ш е н и е. По формуле (5.1) находим
S = 10[(1 + 0.1)3–1] / 0.1= 33.1 млн руб
Годовая рента с начислением процентов m раз в году. Если платежи
делаются 1 раз в конце года, а проценты начисляются m раз в году,
значит, применяется каждый раз ставка j/m,
где
j — номинальная ставка процентов.
Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид
R (1 + j/m)m(n-1), R (1 + j/m)m(n-2), ..., R
Если рассмотрим эту последовательность справа налево, то увидим, что
перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой
является R, знаменателем (1 + j/m)m, а число членов равно n.
Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты:
S = R [(1 + j/m)mn–1] / [(1 + j/m)m –1] (5.2)
Задача 5.2. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого года
поступает по 10 млн руб., на которые ежеквартально (m = 4) начисляются
проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на
расчетном счете к концу указанного срока.
Р е ш е н и е . По формуле (5.2) находим
S = 10[(1+ 0,1/4)3*4 – 1] / [(1+ 0,1/4)4 – 1] = 33,222 млн руб.
Рента р-срочная, m = 1. Если рента выплачивается р раз в году равными
платежами, а проценты начисляются 1 раз в конце года, то размер
отдельного платежа равен R/р ( R— годовая сумма платежей).
Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна
S = R /p [(1 + i)(1/p)np–1] / [(1 + i)(1/p) –1] =
= R [(1 + i)n–1] / p [(1 + i)(1/p) –1] = Rsni(p), (5.3)
где sni(p) = [(1 + i)n–1] / p [(1 + i)(1/p) –1] (5.4)
– коэффициент наращения р-срочной ренты при m = 1
Задача 5.3. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого
квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год
(т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые в конце года начисляются
проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на
расчетном счете к концу указанного срока.
Р е ш е н и е. По формуле (5.4) находим
S = (10/4) [(1 + 0.1)3 – 1] / [(1 + 0.1)1/4–1]= 34,317 млн руб.
Рента р-срочная, р = m. В контрактах часто начисление процентов и
поступление платежа совпадают по времени. Таким образом, число
платежей р в году и число начислений процентов m совпадают, т.е. р = m.
Тогда для получения наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с
годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для
которой
S = R[(1 + i)n–1] / i
Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют
ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом, получаем
S = R/m [(1 + j/m)mn –1] / j/m = R [(1 + j/m)mn –1] / j (5.5)
Задача 5.4. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого
квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год
(т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежеквартально начисляются
проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется
определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Р е ш е н и е. По формуле (5.5) находим
S = 10 [(1 + 0.1/4)3*4– 1] / 0.1 = 34,489 млн руб:
Рента р-срочная, р ≥ 1, m ≥ 1. Это самый общий случай, p-срочной
ренты с начислением процентов m раз в году, причем возможно р ≠ m.
Наращенная сумма
S = R [(1 + j/m)mn –1] / p [(1 + j/m)m/p –1] (5.6)
Следует отметить, что из нее легко получить все рассмотренные выше
частные случаи, задавая лишь соответствующие значения p и m.
Задача 5.5. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого
квартала поступают платежи (р = 4) равными долями из расчета 10 млн
руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежемесячно (m = 12)
начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется
определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Р е ш е н и е. По формуле (5.6) находим
S = (10/4)[(1+
0.1/12)12*3–1]
/ [(1+ 0.1/12)12/4–1]= 34,5296 млн. руб.
Комментариев нет:
Отправить комментарий