Средние величины

Средней величиной называется обобщающий статистический показатель,
характеризующий типичный уровень явления.
 
Виды средних величин:
• средняя арифметическая;
• средняя гармоническая;
• средняя геометрическая;
• средняя квадратическая;
• структурные средние (мода и медиана).

Средняя арифметическая простая
                          X_cp. = ∑ x_i /n,
где x_i – варианты усредняемого признака;
      n – объем совокупности.
 
Формулу средней арифметической простой величины целесообразно
применять, если значения вариант не повторяются.
 
Пример. Имеются данные о стаже работников малого предприятия: 2; 4;
5; 3; 6 (лет). Определяем средний стаж работы:
                     X_cp.= (2+4+5+3+6)/5 = 4 (года).
 
Варианты признака могут повторяться. Число раз повторений вариант
называется частотой, или весом варианты (f).

В этом случае применяют формулу cредней арифметической взвешенной
                         X_cp. = ∑ x_if_i / ∑ f_i
где  f_i – частота повторений, или вес варианты;
      ∑ f_i = n.

Пример. Стаж работников предприятия: 2; 7; 2; 2; 7 (лет).
Определяем средний стаж работы, построив вариационный дискретный ряд
распределения:

Стаж работы, лет (x)	Кол-во работников, чел. (f)
2	3
7	2

                      X_cp.= (2•3 + 7•2)/(2+3) = 4 (года).

Базой для вычисления средней арифметической простой величины
является результат статистического наблюдения и простой сводки, cредней
арифметической взвешенной величины – вариационный дискретный ряд
распределения.

Если необходимо рассчитать среднюю арифметическую величину для
интервального ряда распределения, нужно вычислить среднее значение для
всех интервалов (x_cp.), которые будут выбраны в качестве вариант
значений признака (x_i).

Если статистическая информация не содержит частот по отдельным
вариантам совокупности, а представлена в виде объемов (w= f x) и
вариант, или же не содержит вариант, а представлена в виде объемов и
частот, то применяют формулу средней гармонической
                               X_cp. = ∑ w_i / ∑ f_i

Пример. Требуется рассчитать среднюю заработную плату (ЗП)
работников предприятия на основании следующих данных:

Категория работников	Фонд ЗП, тыс.руб. (w)	Кол-во человек (f)
Рабочие	20	2
Служащие	45	3
Итого	65	5

Решение: X_cp.= (20+45)/(2+3) = 13 (тыс.руб)

Пример. Требуется рассчитать среднюю заработную плату (ЗП)
работников предприятия на основании следующих данных:

Категория работников	ЗП работника, тыс.руб (x)	Фонд ЗП, тыс.руб. (w)
Рабочие	10	20
Служащие	15	45
Итого		65

Решение: X_cp.= (20+45)/(20/10+45/15) = 13 (тыс.руб)

Средняя геометрическая величина

Данная формула используется, в частности, для расчета среднего темпа
роста:

На основе  среднего темпа роста можно вычислить средний
темп прироста:
Т_пр =  Т_р (%) – 100%.

Пример. Даны значения темпов роста прибыли предприятия за первые
пять месяцев года (%): 100; 101,9; 102,8; 99,1; 101,8. Рассчитать
средний темп роста и средний прирост прибыли предприятия.
Решение:

 

Для изучения структуры явления применяются структурные средние
величины: мода и медиана.
 
Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся значение
признака.

Медианой (Ме) называется значение признака, расположенное в середине
ранжированного ряда. Если число единиц совокупности четное, медианой
является среднее из двух значений, расположенных посередине.

Пример. Стаж работников предприятия: 2; 7; 2; 2; 7 (лет).
Значение признака, равное 2, встречается чаще, таким образом, Мо = 2.
Чтобы определить медиану, составим ранжированный ряд: 2, 2, 2, 7, 7.
Ме = 2.

Распределение совокупности по какому-либо признаку является
нормальным, если значения средней величины, моды и медианы совпадают
или близки.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Определить средний уровень квалификации работников
предприятия.

Тарифный разряд	Кол-во работников, чел.
2	4
3	16
4	24
5	18

2. Определить среднюю величину заработной платы работников малого
предприятия, если фонд оплаты труда семи рабочих составил 160 тыс.руб.,
а четырнадцати служащих – 500 тыс.руб.

3. По приведенным ниже данным рассчитать средний темп роста жилой
площади по району:
в 2005 г. введено жилой площади 22,3 млн кв. м;
в 2006 г. абсолютный прирост составил 1,7 млн кв. м;
в 2007 г. темп прироста составил 2,1 %.