Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных
определенным условиям, которые можно составить из элементов,
безразлично какой природы, заданного конечного множества.
При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы
комбинаторики.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех
же n различных элементов и отличающиеся только порядком их
расположения. Число всех возможных перестановок
Pn = n!,
где n! = 1•2•3• … n.
(0! = 1)
Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр
1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
Р е ш е н и е. Искомое число трехзначных чисел
P3 = 3! = 1•2•3 = 6.
Размещениями называют комбинации, составленные из n
различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом
элементов либо их порядком. Число всех возможных размещений
Пример 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного
цвета, взятых по 2?
Р е ш е н и е. Искомое число сигналов
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов
по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число
сочетаний
Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из
ящика, содержащего 10 деталей?
Р е ш е н и е. Искомое число способов
Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством
определенным условиям, которые можно составить из элементов,
безразлично какой природы, заданного конечного множества.
При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы
комбинаторики.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех
же n различных элементов и отличающиеся только порядком их
расположения. Число всех возможных перестановок
Pn = n!,
где n! = 1•2•3• … n.
(0! = 1)
Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр
1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
Р е ш е н и е. Искомое число трехзначных чисел
P3 = 3! = 1•2•3 = 6.
Размещениями называют комбинации, составленные из n
различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом
элементов либо их порядком. Число всех возможных размещений
цвета, взятых по 2?
Р е ш е н и е. Искомое число сигналов
по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число
сочетаний
Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из
ящика, содержащего 10 деталей?
Р е ш е н и е. Искомое число способов
Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством
Если некоторые элементы повторяются, то комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.
Например, если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями
Pn(n1, n2,…) = n!/(n1!, n2!,…),
где n1+n2+…=n.
Число размещений из n элементов по m с возвратом (с повторениями) Аnm = nm
При решении задач комбинаторики используют следующие правила:
Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран n способами, то выбрать либо A, либо B можно m+n способами.
Правило произведения. Если объект A можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то пара объектов (A, B) в указанном порядке может быть выбрана m•n способами.
Например, если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями
Pn(n1, n2,…) = n!/(n1!, n2!,…),
где n1+n2+…=n.
Число размещений из n элементов по m с возвратом (с повторениями) Аnm = nm
При решении задач комбинаторики используют следующие правила:
Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран n способами, то выбрать либо A, либо B можно m+n способами.
Правило произведения. Если объект A можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то пара объектов (A, B) в указанном порядке может быть выбрана m•n способами.
Комментариев нет:
Отправить комментарий